Question

求经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，且圆心在直线y=-2x上的圆的方程．
（I）求出圆的标准方程；
（II）求出（I）中的圆与直线3x+4y=0相交的弦长AB．

Answer 1

分析：（I）设出圆心C的坐标为（a，-2a），利用圆经过A（2，-1），和直线x+y=1相切，列出关于a的方程，求出方程的解即可得到a的值，由a的值可确定出圆心坐标及半径，然后根据圆心和半径写出圆的方程即可．
（II）求出圆心C到直线3x+4y=0的距离d，再由弦长公式可得弦长为2

r2-d2

，即可得到结论．

解答：解：（I）因为圆心C在直线y=-2x上，可设圆心为C（a，-2a）．
则点C到直线x+y=1的距离d′=

|a-2a-1|

2

=

|a+1|

2

据题意，d′=|AC|，则

|a+1|

2

=（a-2）²+（-2a+1）²，
∴a²-2a+1=0
∴a=1．
∴圆心为C（1，-2），半径r=d=2，
∴所求圆的方程是（x-1）²+（ y+2）²=2 
 （II） 圆心（1，-2）到直线3x+4y=0的距离d=

|3-8|

5

=1，半径r=

2

，
故弦长为|AB|=2

r2-d2

=2，

点评：本题考查学生掌握直线与圆相切时所满足的条件，考查点到直线的距离公式及两点间的距离公式，充分运用圆的性质是关键．