Question

对于数列{a_n}，若存在常数M，使得对任意n∈N^*，a_n与a_n+1中至少有一个不小于M，则记作{a_n}＞M，那么下列命题正确的是（ ）
A．若{a_n}＞M，则数列{a_n}各项均大于或等于M
B．若{a_n}＞M，{b_n}＞M，则{a_n+b_n}＞2M
C．若{a_n}＞M，则{a_n²}＞M²
D．若{a_n}＞M，则{2a_n+1}＞2M+1

Answer 1

【答案】分析：举出反例，易知A、B、C不正确；根据题意，若{a_n}＞M，则{2a_n+1}中，2a_n+1与2a_n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故可得D正确．
解答：解：A中，在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为1.5，列{a_n}各项均大于或等于M不成立，故A不正确；
B中，数列{a_n}为1，2，1，2，1，2…，{b_n}为2，1，2，1，2…，M可以为1.5，而{a_n+b_n}各项均为3，则{a_n+b_n}＞2M不成立，故B不正确；
C中在数列1，2，1，2，1，2…中，M可以为-3，此时{a_n²}＞M²不正确，C错误；
D中，若{a_n}＞M，则{2a_n+1}中，2a_n+1与2a_n+1+1中至少有一个不小于2M+1，故{2a_n+1}＞2M+1正确．
故选D．
点评：本题考查数列的性质和应用，解题时要真正理解定义{a_n}＞M．