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    （2010•重庆一模）对于数列{an}，若存在一个常数M，使得对任意的n∈N*，都有|an|≤M，则称{an}为有界数列．
    （Ⅰ）判断an=2+sinn是否为有界数列并说明理由．
    （Ⅱ）是否存在正项等比数列{an}，使得{an}的前n项和Sn构成的数列{Sn}是有界数列？若存在，求数列{an}的公比q的取值范围；若不存在，请说明理由．
    （Ⅲ）判断数列an=
    1
    3
    +
    1
    5
    +
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    (n≥2)    是否为有界数列，并证明．
    分析：（Ⅰ）求an=2+sinn的值域为1≤an=2+sinn≤3，根据有界数列的定义可以判断；
    （Ⅱ）对公比q进行讨论，当0＜q＜1时，Sn=
    a1(1-qn)
    1-q
    ＜
    a1
    1-q
    ，易知正数数列{Sn}满足|Sn|＜
    a1
    1-q
    ，即为有界数列；当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列，从而得结论．
    （Ⅲ）{an}为无界数列，利用放缩法，转换为利用等比数列求和可证．
    解答：解：（Ⅰ）1≤an=2+sinn≤3，
    故{an}为有界数列…（2分）
    （Ⅱ）设公比为q，当0＜q＜1时，Sn=
    a1(1-qn)
    1-q
    ＜
    a1
    1-q
    ，
    则正数数列{Sn}满足|Sn|＜
    a1
    1-q
    ，即为有界数列；
    当q=1时，Sn=na1→+∞，故为无界数列；
    当q＞1时，Sn=a1+a2+…+an＞na1→+∞，此时为无界数列．
    综上：当且仅当0＜q＜1时，{Sn}为有界数列…（6分）．
    （Ⅲ）{an}为无界数列，事实上an=
    1
    3
    +
    1
    5
    +
    1
    7
    +…+
    1
    2n-1
    ＞
    1
    4
    +
    1
    6
    +
    1
    8
    +…+
    1
    2n

    ∴2an＞
    1
    3
    +
    1
    4
    +
    1
    5
    +
    1
    6
    +…+
    1
    2n-1
    +
    1
    2n

    ∴2a2n＞
    1
    3
    +
    1
    4
    +
    1
    5
    +
    1
    6
    +…+
    1
    2•2n
    =(
    1
    3
    +
    1
    4
    )+(
    1
    5
    +
    1
    6
    +
    1
    7
    +
    1
    8
    )+(
    1
    9
    +…+
    1
    16
    )+…+(
    1
    2n+1
    +
    1
    2n+2
    +…+
    1
    2n+2n
    )    ＞
    1
    4
    ×2+
    1
    8
    ×4+
    1
    16
    ×8+…+
    1
    2n×2
    ×2n=
    n
    2

    ∴a2n＞
    n
    4

    故当n无限增大时an也无限增大，
    所以{an}无界…（12分）．
    点评：本题以数列为载体，考查新定义，关键是理解新定义，对等比数列应注意求和公式的使用条件．
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    （2010•重庆一模）设函数f(x)=-x2+2ax+m，g(x)=
    ax
    ．
    （I）若函数f（x），g（x）在[1，2]上都是减函数，求实数a的取值范围；
    （II）当a=1时，设函数h（x）=f（x）g（x），若h（x）在（0，+∞）内的最大值为-4，求实数m的值．

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