Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n（n+1）（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令c_n=

(3n+1)•an

2

（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）当n=1时，可求得a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n，验证a₁=2是否满足满足上式即可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）由于c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，于是T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n），利用错位相减法即可求得数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（Ⅰ）当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n（n+1）-（n-1）n=2n，知a₁=2满足该式
∴数列{a_n}的通项公式为a_n=2n…（5分）
（Ⅱ）c_n=n（3ⁿ+1）=n•3ⁿ+n，
∴T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=（1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ）+（1+2+…+n）…（7分）
令H_n=1×3+2×3²+3×3³+…+n×3ⁿ，①
则3H_n=1×3²+2×3³+3×3⁴+…+n×3ⁿ⁺¹②…（9分）
①-②得，-2H_n=3+3²+3³+…+3ⁿ-n×3ⁿ⁺¹=

3(1-3n)

1-3

-n×3ⁿ⁺¹
∴H_n=

(2n-1)×3n+1+3

4

，…（11分）
∴数列{c_n}的前n项和T_n=

(2n-1)×3n+1+3

4

+

n(n+1)

2

…（12分）

点评：本题考查数列的求和，着重考查数列的通项的求法及由等比数列与等差数列对应项之积构成的数列的求和，突出错位相减法求和的考查，属于中档题．