Question

已知数列{a_n}满足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），则记数列{a_n}的通项公式a_n=

-2n+t+2

，若数列{a_n}的前n项和的最大值为f（t），则f（t）=

t2+2t 4 ，(t为偶数) (t+1)2 4 ，(t为奇数)

．

Answer 1

分析：由数列{a_n}满足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），知数列{a_n}是首项为t，公差为-2的等差数列，由此能求出a_n和数列{a_n}的前n项和的最大值为f（t）．

解答：解：∵数列{a_n}满足a₁=t，a_n+1-a_n+2=0（t∈N^*，n∈N^*），
∴数列{a_n}是首项为t，公差为-2的等差数列，
∴a_n=t+（n-1）×（-2）=-2n+t+2．
∴数列{a_n}的前n项和
S=nt+

n(n-1)

2

×(-2)=nt+n-n²=-[n²-（t+1）n]=-（n-

t+1

2

）²+

(t+1)2

4

，
∵数列{a_n}的前n项和的最大值为f（t），
∴当t为偶数时，f（t）=-

1

4

+

(t+1)2

4

=

t2+2t

4

；
当t为奇数时，f（t）=

(t+1)2

4

．
故f（t）=

t2+2t 4 ，(t为偶数) (t+1)2 4 ，(t为奇数)

．
故答案为：-2n+t+2，

t2+2t 4 ，(t为偶数) (t+1)2 4 ，(t为奇数)

．

点评：本题考查等差数列的通项公式和前n项和最大值的求法，解题时要认真审题，注意配方法和数列的函数性质的灵活运用．