Question

已知cos(α-

π

4

)=

2

10

，α∈(

π

2

，

3

4

π)，则

1-cos2α+sin2α

3+tanα

=（　　）

• A．

  2

  5

• B．

  12

  25

• C．-

  56

  75

• D．

  24

  125

Answer 1

分析：将α写成α=(α-

π

4

) +

π

4

，利用两角和与差三角函数公式及同角三角函数基本关系式依次求出cosα，sinα，tanα．再利用二倍角公式将所求式子化成α的三角函数式，代入数据计算即可．

解答：解：∵cos(α-

π

4

)=

2

10

，α∈(

π

2

，

3

4

π)，∴α-

π

4

∈（

π

4

，

π

2

），sin(α-

π

4

)=

1-cos2(α- π 4 )

=

7 2

10

，
cosα=cos[(α-

π

4

) +

π

4

]=

2

2

[cos(α-

π

4

)-sin(α-

π

4

)]=

2

2

（

2

10

-

7 2

10

）=-

3

5

，从而sinα=

4

5

，tanα=-

4

3

∴

1-cos2α+sin2α

3+tanα

=

1-(1-2sin2α)+2sinαcosα

3+tanα

=

2sinα(sinα+cosα)

3+tanα

=

2× 4 5 × 1 5

3- 4 3

=

24

125

故选D

点评：本题考查三角函数公式的应用：化简求值，应灵活、准确的应用公式．本题将α写成α=(α-

π

4

) +

π

4

，对角进行转化，以利于更好更快的应用公式，这种角的代换方法在两角和与差三角函数中经常采用，要注意体会、积累，从而更深刻的掌握公式的价值．