Question

【题目】如图，已知四棱锥，是等边三角形，，，，，是的中点．

（1）求证：直线平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，连接、，通过证明四边形为平行四边形得出，再利用线面平行的判定定理可得出结论；

（2）以为原点，、、过D且垂直底面的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，设，根据已知条件求出点的坐标，可得出点的坐标，然后利用空间向量法可求出直线与平面所成角的正弦值．

（1）取的中点，连接、，

根据中位线定理，，且，

又，所以，，则四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

（2）以为原点，、、过D且垂直底面的直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，

设，则、、、，设，

由，，，

上面联立解方程组得，，，

故点，所以，得到，

平面的法向量为，由.

故直线与平面所成角的正弦值为．