Question

【题目】数列的各项均为整数，满足：，且，其中．

（1）若，写出所有满足条件的数列；

（2）求的值；

（3）证明：．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）;（3）证明见解析．

【解析】

(1)根据得并结合已知条件即可写出满足条件的数列；

(2) ，利用反证法即可证出；

(3)先利用反证法证明，必有，然后对此不等式中赋，可得个不等式并将其累加，再利用等比数列求和公式化简后，再结合已知即可证得结果．

(1)当时，，又，，

故满足条件的数列为：；；；．

(2)．

否则，假设，因为，所以．又，因此有

，

这与矛盾，

所以．

(3)先证明如下结论：，必有．

否则，假设，

注意左式是的的整数倍，因此，

所以有

这与矛盾．

所以．

因此有

，

，

，

……

，

……

，

将上述个不等式相加得

，①

又，②

②－①得．