Question

【题目】如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且.

（1）证明：平面PAB⊥平面PAD；

（2）若PA=PD=AB=DC， ，求二面角A-PB-C的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据题设条件可以得出AB⊥AP，CD⊥PD.而AB//CD，就可证明出AB⊥平面PAD.

进而证明出平面PAB⊥平面PAD.（2）先找出AD中点，找出相互垂直的线，建立以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长的空间直角坐标系，列出所需要的点的坐标，设是平面的法向量， 是平面的法向量，根据垂直关系，求出和，利用数量积公式可求出二面角的平面角.

试题解析：（1）由已知，得AB⊥AP，CD⊥PD.

由于AB∥CD，故AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD.

又AB 平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.

（2）在平面内做，垂足为，

由（1）可知， 平面，故，可得平面.

以为坐标原点， 的方向为轴正方向， 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系.

由（1）及已知可得， ， ， .

所以， ， ， .

设是平面的法向量，则

，即，

可取.

设是平面的法向量，则

，即，

可取.

则，

所以二面角的余弦值为.

点睛:高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.