Question

已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形．
（Ⅰ）证明：BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）设直线C₁N与平面CNB₁所成的角为θ，求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AB中点，在CB上是否存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用三视图说明几何体的形状，以BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关的点的坐标，通过

BN

•

NB1

=0，

BN

•

B1C1

=0，证明BN⊥平面C₁B₁N；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的坐标系以及相关数据，设直线C₁N与平面CNB₁所成的角为θ，求出向量

n2

与

BN

，通过数量积，
求cosθ的值；
（Ⅲ）M为AB中点，设存在一点P，使得MP∥平面CNB₁，利用

MP

•

n2

=0，求出a的值即可．

解答：解：（Ⅰ）证明：∵该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，
∴BA，BC，BB₁两两垂直．
以BA，BC，BB₁分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，…1分
则N（4，4，0），B₁（0，8，0），C₁（0，8，4），C（0，0，4）
∵

BN

•

NB1

=（4，4，0）•（-4，4，0）=-16+16=0

BN

•

B1C1

=（4，4，0）•（0，0，4）=0…3分
∴BN⊥NB₁，BN⊥B₁C₁且NB₁与B₁C₁相交于B₁，
∴BN⊥平面C₁B₁N；…4分
（Ⅱ）∵BN⊥平面C₁B₁N，是平面C₁B₁N的一个法向量

BN

=（4，4，0），…5分
设

n2

=（x，y，z）为平面NCB1的一个法向量，
则

n2 • CN =0 n2 • NB1 =0

⇒

(x，y，z)•(4，4，-4)=0 (x，y，z)•(4，-4，0)=0

⇒

x+y-z=0 x-y=0

，
取

n2

=（=（1，1，2），…7分
则cosθ═

BN • n2

| BN ||  n2 |

=

3

3

；…9分
（Ⅲ）∵M（2，0，0）．设P（0，0，a）为BC上一点，则

MP

=（-2，0，a），
∵MP∥平面CNB₁，
∴

MP

⊥

n2

，

MP

• 

n2

=（-2，0，a）•（1，1，2）=-2+2a=0
∴a=1…12分
又MP?平面CNB₁，∴MP∥平面CNB₁，
∴当BP=1时MP∥平面CNB₁…13分

点评：本题是中档题，考查空间几何体的三视图，空间直角坐标系的应用，向量的数量积的应用，考查逻辑推理能力，计算能力，高考常考题型．