Question

5．在数列{a_n}中，a₃=9，a₆=18，且满足a_n+2=2a_n+1-a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=$\frac{2}{{{a_n}+3{n^2}}}$，求{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的定义及其通项公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）由a_n+2=2a_n+1-a_n，∴a_n+2+a_n=2a_n+1，∴{a_n}为等差数列，
设{a_n}的首项为a₁，公差为d，则$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+2d=9}\\{{a_1}+5d=18}\end{array}}\right.$，解之得$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}=3}\\{d=3}\end{array}}\right.$，
∴{a_n}的通项公式为a_n=3n．
（2）${C_n}=\frac{2}{3n（n+1）}=\frac{2}{3}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
${T_n}=\frac{2}{3}[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…+（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$\frac{2}{3}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{2n}{3（n+1）}$．

点评 本题考查了等差数列的定义及其通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．