Question

已知函数f（x）=lg

a-x

10+x

，其定义域为[-9，9]，且在定义域上是奇函数，a∈R
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并用函数单调性定义证明你的结论；
（3）若函数g（x）=|f（x）+1|-m有两个零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由奇函数的定义，得f（-x）=-f（x），求出a的值；
（2）函数单调性的定义，判断并证明f（x）在定义域上的单调性即可；
（3）考查函数y=|f（x）+1|的图象与性质，得出g（x）=|f（x）+1|-m有两个零点，
即关于x的方程|f（x）+1|=m 有两个互异实根，?求出满足条件的m的取值范围即可．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=lg

a-x

10+x

是定义域为[-9，9]上的奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即lg

a+x

10-x

=-lg

a-x

10+x

，…（2分）
所以

a+x

10-x

=

10+x

a-x

，
即a²-x²=100-x²，则a²=100，
得a=10或a=-10；
当a=-10时，f（x）=lg（-1）无意义，
所以a=10；…（4分）
（注：若用f（0）=0解得a=10，未加以代入检验扣2分）
（2）由（1）知函数f（x）=lg

10-x

10+x

，该函数是定义域上的减函数；…（5分）
证明：设x₁、x₂为区间[-9，9]上的任意两个值，且x₁＜x₂，
则x₂-x₁＞0，…（6分）
f（x₁）-f（x₂）=lg

10-x1

10+x1

-lg

10-x2

10+x2

=lg

100-x1x2+10(x2-x1)

100-x1x2+10(x1-x2)

；…（8分）
因为[100-x₁x₂+10（x₂-x₁）]-[100-x₁x₂+10（x₁-x₂）]=20（x₂-x₁）＞0，
所以100-x₁x₂+10（x₂-x₁）＞100-x₁x₂+10（x₁-x₂），
又因为100-x₁x₂+10（x₁-x₂）=（10+x₁）（10-x₂）＞0，
所以100-x₁x₂+10（x₂-x₁）＞100-x₁x₂+10（x₁-x₂）＞0；
则

100-x1x2+10(x2-x1)

100-x1x2+10(x1-x2)

＞1，
lg

100-x1x2+10(x2-x1)

100-x1x2+10(x1-x2)

＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）；
所以函数f（x）=lg

10-x

10+x

是定义域上的减函数；    …（10分）
（3）|f（x）+1|=

lg 10-x 10+x +1，-9≤x≤ 90 11 -lg 10-x 10+x -1， 90 11 ＜x≤9

，
要使g（x）=|f（x）+1|-m有两个零点，
即关于x的方程|f（x）+1|=m 有两个互异实根，…（11分）
?当-9≤x≤

90

11

时，
y=|f（x）+1|=lg

10-x

10+x

+1在区间[-9，

90

11

]上单调减，
所以函数y=|f（x）+1|的值域为[0，1+lg19]；…（13分）
?当

90

11

≤x≤9时，
y=|f（x）+1|=-lg

10-x

10+x

-1在区间[

90

11

，9]上单调增，
所以函数y=|f（x）+1|的值域为[0，-1+lg19]；…（15分）
所以实数m的取值范围为（0，-1+lg19]．…（16分）

点评：本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，也考查了对数函数、分段函数的应用问题，考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．