Question

已知函数f（x）=

|lgx|，x＞0 x-x2，x≤0

，若关于x的方程f²（x）+2f（x）+b=0有三个不同的实数根，则实数b的范围为

b≤0

．

Answer 1

分析：作出函数f（x）的图象，根据图象确定b的条件即可．

解答：解：作出函数f（x）的图象如图：
设t=f（x），则由图象可知，
当t＞0时，t=f（x）有两个交点，
当t=0时，t=f（x）有两个交点，
当t＜0时，t=f（x）有1个交点．
则f²（x）+2f（x）+b=0等价为t²+2t+b=0，
若关于x的方程f²（x）+2f（x）+b=0有三个不同的实数根，
则对应t²+2t+b=0的两个根t₁，t₂满足t₁≥0，t₂＜0，
∴t₁t₂≤0，即b≤0．
故答案为：b≤0．

点评：本题主要考查函数零点个数的判断，利用换元法将方程转化为一元二次方程，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．