Question

3．如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）过点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，F₁、F₂为椭圆的左、右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设圆T的圆心T（0，t）在x轴上方，且圆T经过椭圆C两焦点．点P为椭圆C上的一动点，PQ与圆T相切于点Q．
①当Q（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）时，求直线PQ的方程；
②当PQ取得最大值为$\frac{\sqrt{5}}{2}$时，求圆T方程．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的离心率公式和点满足椭圆方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设圆T方程为x²+（y-t）²=1+t²，①把Q的坐标代入圆的方程，解得t，由切线的性质，可得所求直线的斜率，进而得到PQ的方程；
②设P（x₀，y₀）（-1≤y₀≤1），运用勾股定理求得切线长，讨论t的范围，即可得到最大值，进而得到圆的方程．

解答 解：（1）∵e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即a=$\sqrt{2}$c，
∴b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=c，
∵椭圆C过点M（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{2{b}^{2}}$=1，
∴a=$\sqrt{2}$，b=1，
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1；
（2）圆T半径r=$\sqrt{1+{t}^{2}}$，圆T方程为x²+（y-t）²=1+t²，
∵PQ与圆T相切于点Q，∴QT⊥PQ，
①把Q（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）代入圆T方程，解得t=$\frac{1}{2}$，
求得k_QT=2，
∴直线PQ的方程为y=-$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{4}$；
②设P（x₀，y₀）（-1≤y₀≤1），
∵QT⊥PQ，
∴PQ²=PT²-QT²=x₀²+（y₀-t）²-（1+t²），
又$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{2}$+y₀²=1，∴PQ²=-（y₀+1）²+（1+t²），
当t≥1时，且当y₀=-1时，PQ²的最大值为2t，
则2t=（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）²=$\frac{5}{4}$，解得t=$\frac{5}{8}$（舍），
当0＜t＜1时，且当y₀=t时，
PQ²的最大值为1+t²，则t²+1=$\frac{5}{4}$解得t=$\frac{1}{2}$（合）
综上t=$\frac{1}{2}$，圆T方程为x²+（y-$\frac{1}{2}$）²=$\frac{5}{4}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，及圆的方程的求法，注意圆的性质和勾股定理，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．