Question

11．某人有一容积为V，高为a且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条侧棱上且距下底面高度分别为b、c的地方，且容器盖也被摔开了（盖为上底面），为减少油的损失，此人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是多少．（容器壁的厚度忽略不计）

Answer 1

分析 如图所示，设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS．当ADE平面为水平面时，容器内的油是最理想的剩余量．连接AB₁，AC₁.${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{3}V$．设${V}_{A-DE{C}_{1}{B}_{1}}$=V₁，V_A-BCED=V₂．可得$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{S}_{DE{C}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{BCED}}$=$\frac{b+c}{a-c+a-b}$，${V}_{1}+{V}_{2}=\frac{2}{3}V$，解出V₁即可得出．

解答 解：如图所示，
设直三棱柱的底面面积为S，则V=aS．
当ADE平面为水平面时，容器内的油是最理想的剩余量．
连接AB₁，AC₁．
${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}$aS=$\frac{1}{3}V$．
设${V}_{A-DE{C}_{1}{B}_{1}}$=V₁，V_A-BCED=V₂．
则$\frac{{V}_{1}}{{V}_{2}}$=$\frac{{S}_{DE{C}_{1}{B}_{1}}}{{S}_{BCED}}$=$\frac{b+c}{a-c+a-b}$，${V}_{1}+{V}_{2}=\frac{2}{3}V$，
解得V₁=$\frac{b+c}{3a}V$．
∴V₁+${V}_{A-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{b+c}{3a}V$+$\frac{1}{3}V$=$\frac{a+b+c}{3a}V$．
因此，容器内的油的最理想的剩余量是$\frac{a+b+c}{3a}V$．

点评 本题考查了空间位置关系、分割计算体积，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．