Question

（2013•闵行区二模）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠BAC=

π

2

，AB=AC=2，AA₁=6，点E、F分别在棱AA₁、CC₁上，且AE=C₁F=2．
（1）求三棱锥A₁-B₁C₁F的体积；
（2）求异面直线BE与A₁F所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）利用直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中的性质，及三棱锥A₁-B₁C₁F的体积=VF-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1×FC1即可得出．
（2）连接EC，∵A₁E∥FC，A₁E=FC=4，可得四边形A₁ECF是平行四边形，利用其性质可得A₁C∥EC，可得∠BEC是异面直线A₁F与BE所成的角或其补角，在△BCE中求出即可．

解答：解：（1）在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，FC₁⊥平面A₁B₁C₁，故FC₁=2是三棱锥A₁-B₁C₁F的高．
而直角三角形的S△A1B1C1=

1

2

A1B1×A1C1=

1

2

×2×2=2．
∴三棱锥A₁-B₁C₁F的体积=VF-A1B1C1=

1

3

S△A1B1C1×FC1=

1

3

×2×2=

4

3

．
（2）连接EC，∵A₁E∥FC，A₁E=FC=4，
∴四边形A₁ECF是平行四边形，
∴A₁C∥EC，
∴∠BEC是异面直线A₁F与BE所成的角或其补角．
∵AE⊥AB，AE⊥AC，AC⊥AB，AE=AB=AC=2，∴EC=EB=BC=2

2

．
∴△BCE是等边三角形．
∴∠BEC=60°，即为异面直线BE与A₁F所成的角．

点评：熟练利用直三棱柱的性质、三棱锥的体积及等体积变形、平行四边形的判定及性质、异面直线所成的角是解题的关键．