Question

8．设f（x）=xlnx，g（x）=x²-1．
（1）求证：当x≥1时，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）
（2）若当x≥1时，f（x）-mg（x）≤0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）记$h（x）=f（x）-\frac{1}{2}g（x）（x≥1）$，求出h′（x）=lnx+1-x，h''（x）=$\frac{1}{x}$≤0，（x≥1），由此利用导数性质能证明当x≥1时，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）．
（2）x≥1时，f（x）-mg（x）≤0恒成立等价于x≥1时，$lnx-m（x-\frac{1}{x}）≤0$恒成立，记$F（x）=lnx-m（x-\frac{1}{x}）（x≥1）⇒F'（x）=\frac{{-m{x^2}+x-m}}{x^2}$，由此利用导数性质能求出实数m的取值范围．

解答 （本小题满分12分）
证明：（1）∵f（x）=xlnx，g（x）=x²-1．
记$h（x）=f（x）-\frac{1}{2}g（x）（x≥1）$，
∴h′（x）=lnx+1-x，h''（x）=$\frac{1}{x}$≤0，（x≥1），
∴h'（x）在（1，+∞）单调递减，
∴h'（x）≤h'（1）=0，∴h（x）在（1，+∞）单调递减，
∴h（x）≤h（1）=0，即当x≥1时，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）．
解：（2）由（1）知x≥1时，f（x）≤$\frac{1}{2}$g（x）≤mg（x），满足题意；
x≥1时，f（x）-mg（x）≤0恒成立等价于x≥1时，$lnx-m（x-\frac{1}{x}）≤0$恒成立
记$F（x）=lnx-m（x-\frac{1}{x}）（x≥1）⇒F'（x）=\frac{{-m{x^2}+x-m}}{x^2}$
令F'（x）=0得${x_1}=\frac{{1+\sqrt{1-4{m^2}}}}{2m}，{x_2}=\frac{{1-\sqrt{1-4{m^2}}}}{2m}$
由题意知x₁＞1＞x₂＞0，
∴x∈（1，x₁），F'（x）＞0，∴x∈（x₁，+∞），F'（x）＜0，
∴F（x）在（1，x₁）内单调递增，在（x₁，+∞）内单调递减，
∴F_max（x）=F（x₁）＞F（1）=0不合题意；
当m≤0，x＞1时，f（x）-mg（x）＞0不合题意
综上，实数m的取值范围是{m|$m≥\frac{1}{2}$}．

点评 本题考查不等式的证明，考查实数的取值范围的求法，考查导数的应用，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、分类讨论思想，是中档题．