Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=2，M为AB的中点.

（Ⅰ）证明：AC⊥SB；

（Ⅱ）求二面角N-CM-B的大小；

（Ⅲ）求点B到平面SCM的距离.

Answer 1

解法一：（Ⅰ）取AC中点D，连结DS、DB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SD且AC⊥DB，

∴AC⊥平面SDB，又SB平面SDB，

∴AC⊥SB.

（Ⅱ）∵SD⊥AC，平面SAC⊥平面ABC，

∴SD⊥平面ABC.

过D作DE⊥CM于E，连结SE，则SE⊥CM，

∴∠SED为二面角S－CM－A的平面角.

由已知有，所以DE=1，又SA=SC=2，AC=4，∴SD=2.

在Rt△SDE中，tan∠SED==2，

∴二面角S－CM-A的大小为arctan2.

（Ⅲ）在Rt△SDE中，SE=，CM是边长为4 正△ABC的中线，

.   ∴S_△SCM=CM?SE=，

设点B到平面SCM的距离为h，

由V_B-SCM=V_S-CMB，SD⊥平面ABC， 得S_△SCM?h=S_△CMB?SD，

∴h=  即点B到平面SCM的距离为

解法二：（Ⅰ）取AC中点O，连结OS、OB.

∵SA=SC，BA=BC，

∴AC⊥SO且AC⊥BO.

∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC

∴SO⊥面ABC，∴SO⊥BO.

如图所示建立空间直角坐标系O－xyz.

则A（2，0，0），C（－2，0，0），

S（0，0，2），B（0，2，0）.

∴=（－4，0，0），=（0，－2，2），

∵?=（－4，0，0）?（0，－2，2）=0，

∴AC⊥BS.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得M（1，，0），，

=（2，0，2）.   设n=（x，y，z）为平面SCM的一个法向量，

则 

∴n=(－1，，1)， 又=(0，0，2)为平面ABC的一个法向量，

∴cos(n，)==

∴二面角S－CM－A的大小为arccos

（Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得=（2，2，0），

n=（－1，，1）为平面SCM的一个法向量，

∴点B到平面SCM的距离d=