Question

（2013•江苏一模）已知实数a，b，c∈R，函数f（x）=ax³+bx²+cx满足f（1）=0，设f（x）的导函数为f′（x），满足f′（0）f′（1）＞0．
（1）求

c

a

的取值范围；
（2）设a为常数，且a＞0，已知函数f（x）的两个极值点为x₁，x₂，A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），求证：直线AB的斜率k∈(-

2a

9

，-

a

6

]．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=0得a+b+c=0，∴b=-（a+c），求导数f′（x），把f′（0）f′（1）＞0表示为关于a，c的不等式，进而化为关于

c

a

的二次不等式即可求得

c

a

的取值范围；
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，则x1+x2=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，把韦达定理代入k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

可得关于a，b，c的表达式，令t=

c

a

，k可化为关于t的二次函数式，借助（1）问t的范围即可求得k的范围；

解答：解：（1）∵f（1）=a+b+c=0，∴b=-（a+c），
∵f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴f′（0）=c，f′（1）=3a+2b+c，
∴f′（0）f′（1）=c（3a+2b+c）=c（a-c）=ac-c²＞0，
∴a≠0，c≠0，
∴

c

a

-(

c

a

)2＞0，
所以0＜

c

a

＜1．
（2）令f′（x）=3ax²+2bx+c=0，则x1+x2=-

2b

3a

，x₁x₂=

c

3a

，
∴k=

f(x2)-f(x1)

x2-x1

=

(ax23+bx22+cx2)-(ax13+bx12+cx1)

x2-x1

=

(x2-x1)[a(x22+x2x1+x12)+b(x2+x1)+c]

x2-x1

=a（x22+x2x1+x12）+b（x₂+x₁）+c
=a[(x2+x1)2-x2x1]+b（x₂+x₁）+c
=a（

4b2

9a2

-

c

3a

）+b（-

2b

3a

）+c
=a[（

4b2

9a2

-

c

3a

）+

b

a

（-

2b

3a

）+

c

a

]
=

2a

9

（-

b2

a2

+

3c

a

），
令t=

c

a

，由b=-（a+c）得，

b

a

=-1-t，t∈（0，1），
则k=

2a

9

[-（1+t）²+3t]=

2a

9

（-t²+t-1），
∵a＞0，-t²+t-1∈（-1，-

3

4

]，∴k∈（-

2a

9

，-

a

6

]．

点评：本题考查函数在某点取得极值的条件、导数运算及直线斜率，考查转化思想，解决（2）问关键是通过换元转化为关于t的二次函数，从而可利用二次函数性质解决．