Question

如图，在三棱锥D-ABC中，已知△BCD是正三角形，AB⊥平面BCD，AB=BC，E为BC的中点，F在棱AC上，且AF=3FC，

（1）求证：AC⊥平面DEF；
（2）求平面DEF与平面ABD所成的锐二面角的余弦值；
（3）若M为BD的中点，问AC上是否存在一点N，使MN∥平面DEF？若存在，说明点N的位置；若不存在，试说明理由。

Answer 1

（1）证明：取AC的中点H，因为AB=BC，所以BH⊥AC，
因为AF=3FC，所以F为CH的中点，
因为E为BC的中点，所以EF∥BH，则EF⊥AC，
因为△BCD是正三角形，所以DE⊥BC，
因为AB⊥平面BCD，所以AB⊥DE，
因为AB∩BC=B，所以DE⊥平面ABC，
所以 DE⊥AC，
因为 DE∩EF=E，所以AC⊥平面DEF。
（2）；
（3）存在这样的点N，当CN=时，“MN∥平面DEF”，
连结CM，设CM∩DE=O，连OF，
由条件知，O为△BCD的重心，CO=CM，
所以 当CF=CN时，MN∥OF，所以。