Question

已知圆C：x²+（y-3）²=4，一动直线l过A（-1，0）与圆C相交于P、Q两点，M是PQ中点，l与直线m：x+3y+6=0相交于N．
（Ⅰ）求证：当l与m垂直时，l必过圆心C；
（Ⅱ）当PQ=2

3

时，求直线l的方程；
（Ⅲ）探索

AM

•

AN

是否与直线l的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，根据两直线垂直时斜率的乘积为-1，由直线m的斜率求出直线l的斜率，根据点A和圆心坐标求出直线AC的斜率，得到直线AC的斜率与直线l的斜率相等，所以得到直线l过圆心；
（Ⅱ）分两种情况：①当直线l与x轴垂直时，求出直线l的方程；②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的斜率为k，写出直线l的方程，根据勾股定理求出CM的长，然后利用点到直线的距离公式表示出圆心到所设直线l的距离d，让d等于CM，列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值，写出直线l的方程即可；
（Ⅲ）根据CM⊥MN，得到

CM

•

AN

等于0，利用平面向量的加法法则化简

AM

•

AN

等于

AC

•

AN

，也分两种情况：当直线l与x轴垂直时，求得N的坐标，分别表示出

AN

和

AC

，求出两向量的数量积，得到其值为常数；当直线l与x轴不垂直时，设出直线l的方程，与直线m的方程联立即可求出N的坐标，分别表示出

AN

和

AC

，求出两向量的数量积，也得到其值为常数．综上，得到

AM

•

AN

与直线l的倾斜角无关．

解答：解：（Ⅰ）∵直线l与直线m垂直，且km=-

1

3

，
∴k_l=3，又k_AC=3，
所以当直线l与m垂直时，直线l必过圆心C；
（Ⅱ）①当直线l与x轴垂直时，易知x=-1符合题意，
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1），即kx-y+k=0，
因为PQ=2

3

，所以CM=

4-3

=1，
则由CM=

|-3+k|

k2+1

=1，得k=

4

3

，
∴直线l：4x-3y+4=0．
从而所求的直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0；
（Ⅲ）因为CM⊥MN，
∴

AM

•

AN

=(

AC

+

CM

)•

AN

=

AC

•

AN

+

CM

•

AN

=

AC

•

AN

，
当直线l与x轴垂直时，易得N(-1， -

5

3

)，
则

AN

=(0，-

5

3

)，又

AC

=(1，3)，
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=-5，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x+1），
则由

y=k(x+1) x+3y+6=0

，得N（

-3k-6

1+3k

，

-5k

1+3k

），
则

AN

=(

-5

1+3k

，

-5k

1+3k

)，
∴

AM

•

AN

=

AC

•

AN

=

-5

1+3k

+

-15k

1+3k

=-5，
综上，

AM

•

AN

与直线l的斜率无关，且

AM

•

AN

=-5．

点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率满足的条件，灵活运用平面向量的数量积的运算法则化简求值，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，会利用分类讨论的数学思想解决实际问题，是一道综合题．