Question

(理)已知向量p∥q，其中p=(x+c-1,1),q=(ax²+1,y)(a,c,x,y∈R且a＞0,x≠1-c),把其中x,y所满足的关系式记为y=f(x).若函数f(x)为奇函数,且当x＞0时,f(x)有最小值.

(1)求函数f(x)的表达式;

(2)设数列{a_n},{b_n}满足如下关系:a_n+1=,b_n=(n∈N^*),且b₁=,求数列{b_n}的通项公式,并求数列{(3n-1)b_n}(n∈N^*)前n项的和S_n.

(文)已知等差数列{a_n}满足:a_n+1＞a_n(n∈N^*),a₁=1,该数列的前三项分别加上1,1,3后顺次成为等比数列{b_n}的前三项.

(1)分别求数列{a_n},{b_n}的通项公式a_n,b_n;

(2)设T_n=(n∈N^*),若T_n+＜c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.

Answer 1

答案：(理)解:(1)由p∥q,得y(x+c-1)=ax²+1.∴y=f(x)=(a＞0,x≠1-c).

又函数f(x)为奇函数,有f(-x)=-f(x),可得c=1.当x＞0时,f(x)==ax+.

∴.∴a=2.故f(x)=(x≠0).

(2)a_n+1=,

b_n+1=.

∴b_n=b_n-1²=b_n-2⁴=…=.

而b₁=,∴b_n=(n∈N^*).

∴数列{(3n-1)b_n}的通项为(3n-1)b_n=(3n-1)·2^n-1.

∴S_n=2·2⁰+5·2¹+8·2²+…+(3n-4)·2^n-2+(3n-1)·2^n-1.①

∴2S_n=2·2¹+5·2²+8·2³+…+(3n-4)·2^n-1+(3n-1)·2ⁿ.②

①-②,得-S_n=2+3(2¹+2²+…+2^n-1)-(3n-1)2ⁿ.∴S_n=4+(3n-4)2ⁿ(n∈N^*).

(文)解：(1)设d、q分别为数列{a_n}、{b_n}的公差与公比，a₁=1.

由题可知，a₁=1,a₂=1+d,a₃=1+2d,分别加上1,1,3后得2,2+d,4+2d是等比数列{b_n}的前三项,

∴(2+d)²=2(4+2d)d=±2.

∵a_n+1＞a_n,∴d＞0.∴d=2.∴a_n=2n-1(n∈N^*).

由此可得b₁=2,b₂=4,q=2,∴b_n=2ⁿ(n∈N^*).2分

(2)T_n=,①

当n=1时,T₁=;当n≥2时,T_n=.②

①-②，得T_n=.

∴T_n=.

∴T_n+=3＜3.

∵(3)在N^*上是单调递增的,∴(3)∈［2,3).

∴满足条件T_n+＜c(c∈Z)恒成立的最小整数值为c=3.