Question

已知数列{a_n}是正项等比数列，若a₁=32，a₄=4，则数列{log₂a_n}的前n项和S_n的最大值为

15

．

Answer 1

分析：根据题意结合等比数列的通项公式，可得a_n=2^6-n，再取以2为底的对数得log₂a_n=6-n，得到{log₂a_n}是以5为首项，公差为-1的等差数列，利用等差数列的求和公式并结合二次函数在正整数范围内求最值，可得本题的答案．

解答：解：设等比数列的公比为q
∵等比数列中，a₁=32，a₄=4，
∴q³=

a4

a1

=

1

8

，得q=

1

2

，所以等比数列的a_n=32×（

1

2

）^n-1=2^6-n，
由此可得log₂a_n=6-n，数列{log₂a_n}构成以5为首项，公差为-1的等差数列
∴数列{log₂a_n}的前n项和S_n=5n-

n(n-1)

2

=

1

2

（-n²+11n）
∵n∈N^*，∴当n=5或6时，S_n的最大值为15
故答案为：15

点评：本题给出等比、等差数列模型，求一个数列前n项和的最大值，着重考查了等比数列、等差数列的通项与求和等知识，属于中档题．