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(2012•桂林模拟)已知数列{an}是正项数列,其首项a1=3,前n项和为Sn,4Sn=
a
2
n
+2an+4(n≥2)

(1)求数列{an}的第二项a2及通项公式;
(2)设bn=
1
Sn
,记数列{bn}的前n项和为Kn,求证:Kn
17
21
分析:(1)由题设知S2=(
a2
2
)2+
a2
2
+1
,解得a2=4,由Sn=(
an
2
)2+
an
2
+1
,n≥2,得Sn-1=(
an-1
2
)2+
an-1
2
+1
,n≥3,由此能求出数列{an}的第二项a2及通项公式
(2)由Sn=n2+n+1,知bn=
1
Sn
=
1
n2+n+1
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1
,利用裂项求和法能够证明Kn
17
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解答:解:(1)∵数列{an}是正项数列,其首项a1=3,
前n项和为Sn,4Sn=
a
2
n
+2an+4(n≥2)

S2=(
a2
2
)2+
a2
2
+1

∴3+a2=(
a2
2
)
2
+
a2
2
+1

解得a2=4,或a2=-2(舍),
Sn=(
an
2
)2+
an
2
+1
,n≥2,
Sn-1=(
an-1
2
)2+
an-1
2
+1
,n≥3,
两式相减,得:(
an+an-1
2
)•(
an-an-1
2
-1)=0
,n≥3,
∴an-an-1=2,n≥3,
an=
3,n=1
2n,n≥2

(2)∵Sn=n2+n+1,
bn=
1
Sn
=
1
n2+n+1
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1

∴kn
1
3
+
1
7
+(
1
3
-
1
4
)+(
1
4
-
1
5
)+(
1
5
-
1
6
)+…+
(
1
n
-
1
n+1
)

=
1
3
+
1
7
+(
1
3
-
1
n
)

1
3
+
1
7
+
1
3

17
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点评:本题考查数列的通项公式和前n项和公式的应用,解题时要认真审题,仔细解答,注意合理地进行等价转化,注意错位相减法的合理运用.
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π
6
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