Question

18．已知F₁（-$\frac{5}{2}$，0），F₂（$\frac{5}{2}$，0）是双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{m}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{n}$=1的共同焦点，点P是它们的一个交点，则△PF₁F₂的面积为$\frac{3\sqrt{11}}{4}$．

Answer 1

分析 设P为双曲线和椭圆在第一象限内的交点，|PF₁|=m，|PF₂|=n，运用椭圆和双曲线的定义，可得m-n=4，m+n=6，求得m=5，n=1，运用余弦定理和面积公式，计算即可得到所求值．

解答 解：设P为双曲线和椭圆在第一象限内的交点，
|PF₁|=m，|PF₂|=n，
由双曲线的定义可得，m-n=2×2=4，
由椭圆的定义可得m+n=2×3=6，
解得m=5，n=1，
又|F₁F₂|=5，由余弦定理可得，
cos∠F₁PF₂=$\frac{{5}^{2}+{1}^{2}-{5}^{2}}{2×5×1}$=$\frac{1}{10}$，
即有sin∠F₁PF₂=$\sqrt{1-\frac{1}{100}}$=$\frac{3\sqrt{11}}{10}$，
则△PF₁F₂的面积为$\frac{1}{2}$mnsin∠F₁PF₂=$\frac{1}{2}$×5×1×$\frac{3\sqrt{11}}{10}$
=$\frac{3\sqrt{11}}{4}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{11}}{4}$．

点评 本题考查椭圆和双曲线的定义、方程和性质，考查余弦定理和三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于中档题．