Question

10．已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（Ⅰ） 求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ） 若$x∈[0，\;\frac{π}{2}]$，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），易得最小正周期，解$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$可得増区间；
（Ⅱ）由$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$可得$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$，由三角函数的最值可得．

解答 解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1
=sin2x+cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），
∴函数f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$，
由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{4}≤2kπ+\frac{π}{2}（k∈Z）$可得$kπ-\frac{3π}{8}≤x≤kπ+\frac{π}{8}$（k∈Z），
∴函数f（x）的増区间为$[kπ-\frac{3π}{8}，kπ+\frac{π}{8}]（k∈Z）$；
（Ⅱ）∵$x∈[{0，\frac{π}{2}}]$，∴$2x+\frac{π}{4}∈[{\frac{π}{4}，\frac{5π}{4}}]$，
∴当$2x+\frac{π}{4}=\frac{π}{2}$即$x=\frac{π}{8}$时，f（x）取最大值$f{（x）_{max}}=f（\frac{π}{8}）=\sqrt{2}$，
当$2x+\frac{π}{4}=\frac{5π}{4}$即$x=\frac{π}{2}$时，f（x）取最小值$f{（x）_{min}}=f（\frac{π}{2}）=-1$．

点评 本题考查三角函数恒等变换，涉及三角函数的单调性和最值，属基础题．