Question

数列{a_n}中，S_n是其前n项和，若a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n≥1），则a₇=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据递推关系，求出数列{a_n}中各项均不为0，且从第二项起构成公比为

4

3

的等比数列，即可得到结论

解答： 解：∵a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（n≥1），
∴a_n+2=

1

3

S_n+1（n≥1），
两式相减得a_n+2-a_n+1=

1

3

（S_n+1-S_n）=

1

3

a_n+1．
即a_n+2=

4

3

a_n+1，
∵a₁=1，a_n+1=

1

3

S_n（
∴a₂=

1

3

，
∴数列{a_n}中各项均不为0，且从第二项起构成公比为

4

3

的等比数列，
∴n≥2时，a_n=

1

3

×(

4

3

)n-2，
∴a₇=

1

3

×(

4

3

)5=

1024

729

，
故答案为：

1024

729

．

点评：本题主要考查数列项的求解，根据数列的递推关系是解决本题的关键，考查学生的运算能力．