Question

20．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，斜率k=1的直线过焦点F，与抛物线交于A，B两点，O为坐标原点，若△OAB的面积为2$\sqrt{2}$，则该抛物线的方程为（　　）

• A． y²=2x
• B． y²=2$\sqrt{2}$x
• C． y²=4x
• D． y²=4$\sqrt{2}$x

Answer 1

分析 求出直线AB的方程，联立方程组，利用根与系数的关系解出|y₂-y₁|，根据三角形的面积列出方程解出p，得到抛物线的方程．

解答 解：抛物线的焦点坐标为（$\frac{p}{2}$，0），直线AB的方程为y=x-$\frac{p}{2}$．
联立方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=2px}\\{y=x-\frac{p}{2}}\end{array}\right.$，消元得y²-2py-p²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=2p，y₁y₂=-p²．
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}•\frac{p}{2}|{y}_{2}-{y}_{1}|$=$\frac{p}{4}\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}{p}^{2}$=2$\sqrt{2}$．
∴p=2．
∴抛物线方程为y²=4x．
故选：C．

点评 本题考查了抛物线的性质，根与系数的关系，属于中档题．