Question

经过椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦点F的直线L与椭圆交于A、B两点，M是线段AB的中点，直线AB与直线OM（O是坐标原点）的斜率分别为k、m，且km=-

1

a2

．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）已知k=

2

4

，连接OM并延长交椭圆于点C，若四边形OACB恰好是平行四边形，求椭圆的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出直线AB的方程代入椭圆方程，利用韦达定理、中点坐标公式，可求m、km，利用km=-

1

a2

，即可求b的值；
（Ⅱ）根据OACB是平行四边形，可得

OC

=

OA

+

OB

，从而可求C的坐标，利用C在椭圆上，即可求得椭圆的方程．

解答：解：（Ⅰ）设直线AB的方程为y=k（x-c），代入椭圆方程，消元可得
（a²k²+b²）x²-2a²k²cx+a²k²c²-a²b²=0，…（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀），则x0=

x1+x2

2

，m=

y0

x0

，…（4分）
∴x₀=

a2k2c

a2k2+b2

，y₀=k（x₀-c）=-

kb2c

a2k2+b2

∴m=

y0

x0

=-

b

a2k

，∴km=-

b2

a2

；
又∵km=-

1

a2

，∴b=1；                       …（6分）
（Ⅱ）∵OACB是平行四边形，则

OC

=

OA

+

OB

，…（8分）
∴x_c=x₁+x₂=2x₀=

2a2k2c

a2k2+b2

=

2a2c

a2+8

，y_c=y₁+y₂=2y₀=-

4 2 c

a2+8

，
∵C在椭圆上，∴

( 2a2c a2+8 )2

a2

+

(- 4 2 c a2+8 )2

b2

=1，…（10分）
整理得4c²=a²+8，
∵c²=a²-1，∴a²=4，
∴椭圆的方程是

x2

4

+y2=1．                    …（12分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查向量知识，直线与椭圆联立，利用韦达定理解题是关键．