Question

（2008•崇明县一模）设a、b、c是互不相等的正数，则下列不等式中不恒成立的是（　　）

• A．|a-b|≤|a-c|+|b-c|
• B．|a-b|+

  1

  a-b

  ≥2
• C．a2+

  1

  a2

  ≥a+

  1

  a

• D．a²+b²≥2|ab|

Answer 1

分析：A：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，
B：反例a-b=-1，则该不等式不成立，
C：由于函数f(x)=x+

1

x

在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增，当a＞1时，当0＜a＜1，当a=1，三种情况讨论即可
D：由（a±b）²≥0可得a²+b²≥±2ab可得

解答：解：A：|a-b|=|a-c+c-b|≤|a-c|+|c-b|=|a-c|+|b-c|，故A恒成立
B：若a-b=-1，则该不等式不成立，故B不恒成立
C：由于由于函数f(x)=x+

1

x

在（0，1]单调递减，在[1，+∞）单调递增
当a＞1时，a²＞a＞1，f（a²）＞f（a）即，a2+

2

a2

＞a+

1

a

，当0＜a＜1，0＜a²＜a＜1，f（a²）＞f（a）即a2+

1

a2

＞a+

1

a

当a=1，a2+

1

a2

=a+

1

a

故C恒成立
D：由（a±b）²≥0可得a²+b²≥±2ab即a²+b²≥2|ab|恒成立
故选：B

点评：本题主要考查了绝对值不等式|a±b|≤|a|+|b|，函数f（x）=x+

1

x

的单调性的应用，基本不等式a²+b²≥±2ab等知识的综合应用．