Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），A，B分别是椭圆的长轴和短轴的端点，且原点到直线AB的距离为

2

5

5

b．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）直线l与圆O：x²+y²=b²相切，并且被椭圆C截得的弦长的最大值为2，求椭圆C的标准方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：对于（1），由A，B两点的坐标，得直线AB的方程，由点到直线的距离公式，得a，b的关系式，联立b²=a²-c²，可得离心率e．
对于（2），当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，联立l与圆O的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，根据△=0，得k与m的关系式，再联立l与椭圆C的关系式，消去y，得到另一个关于x的一元二次方程，根据韦达定理、弦长公式及前面所得k与m的关系，写出弦长的表达式，用b表示弦长的最大值；当直线l的斜率不存在时，易得弦长的表达式，于是可根据弦长的最大值为2，得b的值，由（1）中所得a，b的关系，即可得椭圆C的标准方程．

解答： 解：（1）不妨设椭圆C的右顶点为A，上顶点为B，
则直线AB的方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
依题意，原点O到直线AB的距离d=

ab

b2+a2

=

2 5

5

b，
化简，得a²=4b²，
结合b²=a²-c²，得

c

a

=

3

2

，即离心率e=

3

2

．
（2）设直线l与椭圆C交于P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
（i）当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，
联立x²+y²=b²，消去y，整理，得（1+k²）x²+2kmx+m²-b²=0．
由于直线l与圆O相切，所以△₁=（2km）²-4（1+k²）（m²-b²）=0，
得m²-b²=k²b²．
由

y=kx+m x2 4b2 + y2 b2 =1

，消去y，整理，得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4b²=0，
由韦达定理，得

x1+x2=- 8km 1+4k2 x1x2= 4m2-4b2 1+4k2

，
且△₂=（8km）²-4（1+4k²）（4m²-4b²）＞0，
从而|PQ|=

k2+1

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

•

( -8km 1+4k2 )2-4× 4m2-4b2 1+4k2

=

k2+1

•

64k2b2-16(m2-b2) (1+4k2)2

，
 结合m²-b²=k²b²，整理，得|PQ|=

3

b

64k4+16k2 (1+4k2)2

=

3

b

- 3 (1+4k2)2 + 2 1+4k2 +1

．
又设

1

1+4k2

=t，易知，k≠0，∴0＜t＜1，则|PQ|=

3

b

-(t- 1 3 )2+ 4 3

，
当t=

1

3

即k2=

1

2

时，得|PQ|_max=

3

b

4 3

=2b，
（ii）当直线l的斜率不存在时，不妨设l的方程为x=b，易知P（b，

b

2

），Q（b，

b

2

），
此时|PQ|=b＜2b，|PQ|不是最大，
综合（i）、（ii）知，|PQ|_max=2b=2，∴b²=1，得a²=4b²=4，
故椭圆C的标准方程为

x2

4

+y2=1．

点评：本题考查了椭圆的几何性质，圆与椭圆的相交弦问题等．求椭圆的标准方程，除了条件“b²=a²-c^2”外，还需寻找关于a，b，c的另外两个独立的关系式．