Question

已知S_n是正项数列{a_n}的前n项和，4S_n=（a_n+1）²．
（1）求S_n．
（2）设数列{b_n}满足b_n=

2

4Sn-1

，数列{b_n}的前n项和为T_n，若不等式λT_n＜n+8对于任意n∈N^*恒成立，试求λ的取值范围．
（3）设dn=

Sn

3 Sn +1

，是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使的d₁，d_m，d_n成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由已知利用“n=1时，a₁=S₁；n≥2时，a_n=S_n-S_n-1”即可得出a_n，进而得到S_n；
（2）求出等差数列{a_n}的前n项和，代入b_n=

2

4Sn-1

整理，由裂项相消法求出数列{b_n}的前n项和为T_n，代入不等式λT_n＜n+8后分离变量λ，利用基本不等式求出最小值后求得λ的范围；
（3）把S_n代入d_n=

Sn

3 Sn +1

，化简后得到d_n，结合d₁，d_m，d_n成等比数列得到关于m的不等式，进一步求得m的值，则n的值可求．

解答： 解：（1）∵4S_n=（a_n+1）²，n∈N^*，∴4Sn-1=(an-1+1)2（n≥2），
两式作差得4an=(an+1)2-(an-1+1)2，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
又∵正项数列{a_n}，∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=2（n≥2），
又n=1时，4a1=4S1=(a1+1)2，
解得a₁=1，
∴数列{a_n}是以1为首项，2为公差的等差数列．
∴a_n=2n-1．
∴Sn=n+

2n(n-1)

2

=n2；
（2）b_n=

2

4Sn-1

=

2

4n2-1

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
Tn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

=

2n

2n+1

．
由λT_n＜n+8对于任意n∈N^*恒成立，得λ•

2n

2n+1

＜n+8对于任意n∈N^*恒成立，
即λ＜

(2n+1)(n+8)

2n

=

2n2+17n+8

n

=2n+

8

n

+17．
∵2n+

8

n

+17≥2

2n• 8 n

+17=25（当且仅当n=2时取等号），
∴λ＜25；
（3）d_n=

Sn

3 Sn +1

=

n2

3 n2 +1

=

n

3n+1

，
假设存在正整数m，n，且1＜m＜n，使的d₁，d_m，d_n成等比数列，
即dm2=d1dn，也就是(

m

3m+1

)2=

1

4

•

n

3n+1

，
即

m2

9m2+6m+1

=

n

12n+4

，
由

m2

9m2+6m+1

=

n

12n+4

，得

4

n

=

-3m2+6m+1

m2

，
则-3m²+6m+1＞0，解得

3-2 3

3

＜m＜

3+2 3

3

．
∵m为大于1 的整数，∴m=2．
则n=16．
故存在m=2，n=16，使得d₁，d_m，d_n成等比数列．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了由等比数列的性质结合数列的函数特性求解参数问题，属于难题．