已知点为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(I)求曲线的方程;
(II)试证明:在轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
【解析】第一问中设为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴,曲线
的方程为
第二问中,设点的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线的方程
,可得
∵,∴
确定结论直线与曲线
总有两个公共点.
然后设点,
的坐标分别
,
,则
,
要使被
轴平分,只要
得到。
(1)设为曲线
上的任意一点,则点
在圆
上,
∴,曲线
的方程为
. ………………2分
(2)设点的坐标为
,直线
的方程为
, ………………3分
代入曲线的方程
,可得
,……5分
∵,∴
,
∴直线与曲线
总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆
的内部得到此结论)
………………6分
设点,
的坐标分别
,
,则
,
要使被
轴平分,只要
,
………………9分
即,
, ………………10分
也就是,
,
即,即只要
………………12分
当时,(*)对任意的s都成立,从而
总能被
轴平分.
所以在x轴上存在定点,使得
总能被
轴平分
科目:高中数学 来源:2011届辽宁省铁岭六校高三上学期第三次联考数学理卷 题型:解答题
已知点为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(1)求曲线的方程;
(2)试证明:在轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分。
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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省高三下学期5月高考冲刺文科数学(解析版) 题型:解答题
(本小题满分12分)
已知点为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(I)求曲线的方程;
(II)试证明:在轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
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科目:高中数学 来源:2010-2011学年辽宁省铁岭六校高三上学期第三次联考数学理卷 题型:解答题
已知点为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(1)求曲线的方程;
(2)试证明:在轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分。
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科目:高中数学 来源: 题型:
(本小题共14分)
已知点为圆
上的动点,且
不在
轴上,
轴,垂足为
,线段
中点
的轨迹为曲线
,过定点
任作一条与
轴不垂直的直线
,它与曲线
交于
、
两点。
(1)求曲线的方程;
(2)试证明:在轴上存在定点
,使得
总能被
轴平分
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