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已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点 任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于两点。

   (1)求曲线的方程;

   (2)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分。

 

【答案】

 

(1) 

(2)  略

【解析】解:(1)设为曲线上的任意一点,则点在圆上,

,曲线的方程为.        

(2)设点的坐标为,直线的方程为,     

代入曲线的方程,可得 

,                               

,∴

  ∴直线与曲线总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆的内部得到此结论)

设点,的坐标分别,

,                       

要使轴平分,只要

,              

也就是

,即只要   

时,(*)对任意的s都成立,从而总能被轴平分.

所以在x轴上存在定点,使得总能被轴平分.

 

练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:2011届辽宁省铁岭六校高三上学期第三次联考数学理卷 题型:解答题

已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点 任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于两点。
(1)求曲线的方程;
(2)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分。

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省高三下学期5月高考冲刺文科数学(解析版) 题型:解答题

(本小题满分12分)

已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于两点。

(I)求曲线的方程;

(II)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分

 

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科目:高中数学 来源:2011-2012学年山东省菏泽市高三5月高考冲刺题文科数学试卷(解析版) 题型:解答题

已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于两点。

(I)求曲线的方程;

(II)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分

【解析】第一问中设为曲线上的任意一点,则点在圆上,

,曲线的方程为

第二问中,设点的坐标为,直线的方程为,  ………………3分   

代入曲线的方程,可得 

,∴

确定结论直线与曲线总有两个公共点.

然后设点,的坐标分别, ,则,  

要使轴平分,只要得到。

(1)设为曲线上的任意一点,则点在圆上,

,曲线的方程为.  ………………2分       

(2)设点的坐标为,直线的方程为,  ………………3分   

代入曲线的方程,可得 ,……5分            

,∴

∴直线与曲线总有两个公共点.(也可根据点M在椭圆的内部得到此结论)

………………6分

设点,的坐标分别, ,则,   

要使轴平分,只要,            ………………9分

,        ………………10分

也就是

,即只要  ………………12分  

时,(*)对任意的s都成立,从而总能被轴平分.

所以在x轴上存在定点,使得总能被轴平分

 

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科目:高中数学 来源: 题型:

(本小题共14分)

已知点为圆上的动点,且不在轴上,轴,垂足为,线段中点的轨迹为曲线,过定点 任作一条与轴不垂直的直线,它与曲线交于两点。

   (1)求曲线的方程;

   (2)试证明:在轴上存在定点,使得总能被轴平分

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