Question

设数列{}满足：a1=2，对一切正整数n，都有

(1)探讨数列{}是否为等比数列，并说明理由；

(2)设

 

Answer 1

（1）是，理由见解析；（2）证明过程详见解析.

【解析】

试题分析：本题主要考查等比数列的定义、等比数列的证明、数学归纳法、放缩法等数学知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力.第一问，通过对已知表达式的移项，变形可得出数列的通项，可以用等比数列的定义证明也可以用数学归纳法证明；第二问，将第一问的结论代入，得到表达式，法一：利用放缩法和裂项相消法证明，法二：利用数列的累加法和放缩法证明.

试题解析：⑴由得，

∴对一切，可知是首项为，公比为的等比数列. 5分

（通过归纳猜想，使用数学归纳法证明的，亦应给分）

（2）由（1）知 6分

证一：

10分

12分

证二：∵ ≥（仅当时等号成立），故此，≤10分

从而，≤＜ 12分

考点：1.数学归纳法；2.累加法；3.放缩法.