Question

过双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左焦点F作倾斜角为60°的直线与双曲线相交于A、B两点，若

AF

=4

BF

，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  6

  5

• B、

  10

  3

• C、

  6

  5

• D、以上均不对

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据题意，画出图形，结合图形，求出点B的坐标（x₂，y₂），利用e=

| BF |

d

得出关于e的方程，验证答案是否正确即可．

解答： 解：根据题意，A在双曲线的右支上，B在左支上，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），左焦点F（-c，0），如图所示
∵

AF

=4

BF

，
∴x₁-（-c）=4[x₂-（-c）]，
∴x₁=4x₂+3c①；
又∵直线过焦点F，倾斜角为60°，
∴y=

3

（x+c），
直线方程与双曲线方程

x2

a2

-

y2

b2

=1联立，消去y得；
b²x²-3a²（x+c）²=a²b²，
即（b²-3a²）x²-6a²cx-（3a²c²+a²b²）=0，
∴x₁+x₂=

6a2c

b2-3a2

②；
由①②得，
x₂=

6a2c

5(b2-3a2)

-

3c

5

，y₂=

3

（

6a2c

5(b2-3a2)

+

2c

5

）；
∴e=

| BF |

d

=

(x2+c)2+y22

|x2- a2 c |

=

2( 6a2c 5(b2-3a2) + 2c 5 )

| 6a2c 5(b2-3a2) - 3c 5 - a2 c |

=

4(c2-a2)c2

-20a4-13a2c2+3c4

=

4(e2-1)e2

3e4-13e2-20

，
即3e⁴-4e³-13e²+4e-20=0，
验证e=

6

5

和e=

10

3

都不是该方程的解．
故选：D．

点评：本题考查了求曲线的离心率的问题，也考查了直线与双曲线交点的问题，考查了计算能力，是难题．