Question

已知抛物线的方程为y²=4x，直线l过定点P（-2，0），斜率为k，当k为何值时，直线与抛物线：
（1）只有一个公共点；
（2）有两个公共点；
（3）没有公共点．

Answer 1

分析：由题意可设直线方程为：y=k（x+2），联立方程可得，

y=k(x+2) y2=4x

整理可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）只有一个根
（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根
（3）直线与抛物线没有一个公共点?（*）没有根

解答：解：由题意可设直线方程为：y=k（x+2）
联立方程可得，

y=k(x+2) y2=4x

整理可得k²x²+4（k²-1）x+4k²=0（*）
（1）直线与抛物线只有一个公共点?（*）没有根
①k=0时，x=0符合题意
②k≠0时，△=16（k²-1）²-16k⁴=0
∴k=±

2

2

综上可得，k=

2

2

，-

2

2

，或0，
（2）直线与抛物线有2个公共点?（*）有两个根
∴

16(k2-1)2-16k4＞0 k≠0

∴-

2

2

＜k＜

2

2

且k≠0
即(-

2

2

，0)∪(0，

2

2

)
（3）直线与抛物线没有一个公共点?（*）没有根

k≠0 16(k2-1)2-16k4＜0

解不等式可得，k＜-

2

2

或k＞

2

2

点评：本题主要考查了由直线与抛物线的位置关系的求解参数的取值范围，一般的思路是把位置关系转化为方程解的问题，体现了转化的思想．解题中容易漏洞对二次项是否为0的讨论