Question

（2010•合肥模拟）已知向量

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，f(x)=

a

•

b

-

3

2

，下面关于函数f（x）的导函数f'（x）说法中错误的是（　　）

• A．函数最小正周期是π
• B．函数在区间(0，

  π

  3

  )为减函数
• C．函数的图象关于直线x=

  π

  2

  对称
• D．图象可由函数y=2sin2x向左平移

  5π

  12

  个单位长度得到

Answer 1

分析：A：根据函数的解析式可得：f′（x）的最小正周期为：π．
B：因为对于函数 y=cos(2x+

π

3

)的单调减区间为[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]，所以f′（x）在区间(0，

π

3

)为减函数．
C：函数f′（x）=2cos（2x+

π

3

）的对称轴为：x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z．
D：函数y=2sin2x向左平移

5π

12

个单位长度得到函数y=2sin（2x-

5π

6

），再根据诱导公式可得此答案正确．

解答：解：因为

a

=(sinx，cosx)，

b

=(cosx，

3

cosx)，
所以f(x)=

a

•

b

-

3

2

=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
所以f′（x）=2cos（2x+

π

3

）．
所以f′（x）的最小正周期为：π，所以A正确．
因为对于函数 y=cos(2x+

π

3

)的单调减区间为2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+π，即kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，
所以f′（x）在区间(0，

π

3

)为减函数，所以B正确．
函数f′（x）=2cos（2x+

π

3

）的对称轴为：x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，所以C错误．
D：函数y=2sin2x向左平移

5π

12

个单位长度得到函数y=2sin（2x-

5π

6

），再根据诱导公式可得此答案正确．
故选C．

点评：本题主要考查了余弦函数的有关性质，考查了学生对三角函数基础知识的理解和把握．