Question

17．若tanα，tanβ是方程x²-3$\sqrt{3}$x+4=0的两个根，且$α，β∈（0，\frac{π}{2}）$，则α+β=$\frac{2π}{3}$．

Answer 1

分析 由tanα，tanβ是方程x²-3$\sqrt{3}$x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．

解答 解：依题意得tanα+tanβ=3$\sqrt{3}$，tanα•tanβ=4，
∴tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=$\frac{3\sqrt{3}}{1-4}$=-$\sqrt{3}$．
又∵α，β∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴α+β∈（0，π），
∴α+β=$\frac{2π}{3}$．
故答案为：$\frac{2π}{3}$．

点评 此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，本题的关键是找出α+β的范围，属于基础题．