Question

定义域在R的单调函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），且f（3）=6，
（ I）求f（0），f（1）；
（ II）判断函数f（x）的奇偶性，并证明；
（ III）若对于任意都有f（kx²）+f（2x-1）＜0成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

解：（ I）取x=0，得f（0+y）=f（0）+f（y），
即f（y）=f（0）+f（y），∴f（0）=0，
∵f（3）=f（1+2）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1+1）=f（1）+f（1）+f（1）
∴结合f（3）=6，得3f（1）=6，可得f（1）=2；
（II）取y=-x，得f（0）=f[x+（-x）]=f（x）+f（-x）=0
移项得f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；
（III）∵f（x）是奇函数，且f（kx²）+f（2x-1）＜0在上恒成立，
∴f（kx²）＜f（1-2x）在上恒成立，
又∵f（x）是定义域在R的单调函数，且f（0）=0＜f（1）=2，
∴f（x）是定义域在R上的增函数．
∴kx²＜1-2x在上恒成立．
∴在上恒成立．
令，
由于，∴．
∴g（x）_min=g（1）=-1．∴k＜-1．
则实数k的取值范围为（-∞，-1）．
分析：（I）取x=0代入函数满足的等式，整理可得f（0）=0．再根据3=1+2=1+1+1，结合定义和f（3）=6，算出f（1）=2；
（II）以-x取代y，代入函数满足的等式，可得f（x）+f（-x）=0，由此可得f（x）是奇函数；
（III）根据函数是单调函数且f（0）＜f（1），得f（x）是定义域在R上的增函数．再结合函数为奇函数，将题中不等式转化为kx²＜1-2x在上恒成立，最后采用变量分离的方法结合换元法求函数的最小值，可算出k的取值范围．
点评：本题给出抽象函数，求特殊的函数值并讨论函数的单调性与奇偶性，考查了抽象函数的理解与处理、函数的单调性与奇偶性和不等式恒成立问题的处理等知识，属于中档题．