Question

设集合A={x|x²-3x+2=0}，B={x|x²+2（a+1）x+（a²-5）=0}
（1）若A∩B={2}，求实数a的值；
（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围；
（3）若U=R，A∩（C_UB）=A，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题目中条件：“A∩B={2}”，知2是方程的一个根，由此可得实数a的值；
（2）由题目中条件：“A∪B=A，”，知B⊆A，由此可得实数a的取值范围；
（3）由题目中条件：“A∩（C_UB）=A，”，知A∩B=∅，由此可得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵A∩B={2}，∴2∈B，代入B中方程
得a²+4a+3=0，所以a=-1或a=-3（2分）
当a=-1时，B={-2，2}，满足条件；
当a=-3时，B={2}，也满足条件
综上得a的值为-1或-3；（4分）
（2）∵A∪B=A，∴B⊆A（5分）
①当△=4（a+1）²-4（a²-5）=8（a+3）＜0，即a＜-3时，B=∅满足条件
②当△=0即a=-3时，B={2}，满足要求（6分）
③当△＞0，即a＞-3时，B=A={1，2}才能满足要求，不可能
故a的取值范围是a≤-3．（9分）
（3）∵A∩（C_UB）=A，
∴A⊆（C_UB），
∴A∩B=∅（10分）
①当△＜0，即a＜-3时，B=∅，满足条件
②当△=0即a=-3时，B={2}，A∩B={2}不适合条件
③当△＞0，即a＞-3时，此时只需1∉B且2∉B
将2代入B的方程得a=-1或a=-3
将1代入B的方程得a=-1±

3

∴a≠-1，a≠-3，a≠-1±

3

（12分）
综上，a的取值范围是a＜-3或-3＜a＜-1-

3

或-1-

3

＜a＜-1或或-1＜a＜-1+

3

或a＞-1+

3

（14分）

点评：本题主要综合考查集合的交、并、补以及集合间的包含关系，属于中档题，解题时要善于进行转化．