Question

4．已知向量$\overrightarrow m=（a，b，0），\overrightarrow n=（c，d，1）$其中a²+b²=c²+d²=1，现有以下命题：
（1）向量$\overrightarrow n$与z轴正方向的夹角恒为定值（即与c，d无关 ）；
（2）$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的最大值为$\sqrt{2}$；
（3）$\left?{\overrightarrow m，\overrightarrow n}\right＞$（$\overrightarrow m•\overrightarrow n$的夹角）的最大值为$\frac{3π}{4}$；
（4）若定义$\overrightarrow u×\overrightarrow v=|{\overrightarrow u}|•|{\overrightarrow v}|sin\left?{\overrightarrow u，\overrightarrow v}\right＞$，则$|{\overrightarrow m×\overrightarrow n}|$的最大值为$\sqrt{2}$．
其中正确的命题有（1）（3）（4）．（写出所有正确命题的序号）

Answer 1

分析 （1）取z轴的正方向单位向量$\overrightarrow{α}$，求出$\overrightarrow{n}$与$\overrightarrow{α}$的夹角即可判断命题正确；
（2）计算$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ac+bd，利用不等式求出最大值即可判断命题错误；
（3）利用数量积求出$\overrightarrow{m}$与$\overrightarrow{n}$夹角的最大值，即可判断命题正确；
（4）根据定义求出$\overrightarrow{m}$×$\overrightarrow{n}$的最大值即可判断命题正确．

解答 解：（1）取z轴的正方向单位向量$\overrightarrow{α}$=（0，0，1），
则cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{α}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{α}}{|\overrightarrow{n}|×|\overrightarrow{α}|}$=$\frac{1}{\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}{+1}^{2}}×1}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴向量$\overrightarrow{n}$与z轴正方向的夹角恒为定值$\frac{π}{4}$，命题正确；
（2）$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=ac+bd≤$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}$+$\frac{{b}^{2}{+d}^{2}}{2}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{+b}^{2}{+d}^{2}}{2}$=$\frac{1+1}{2}$=1，
当且仅当a=c，b=d时取等号，因此$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$的最大值为1，命题错误；
（3）由（2）可得：|$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$|≤1，∴-1≤$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$≤1，
∴cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}|×|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{ac+bd}{\sqrt{{a}^{2}{+b}^{2}}•\sqrt{{c}^{2}{+d}^{2}{+1}^{2}}}$≥-$\frac{1}{1×\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞的最大值是$\frac{3π}{4}$，命题正确；
（4）由（3）可知：-$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$\frac{π}{4}$≤＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤$\frac{3π}{4}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤1，
∴$\overrightarrow{m}$×$\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|×|$\overrightarrow{n}$|×sin＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$＞≤1×$\sqrt{2}$×1=$\sqrt{2}$，命题正确．
综上可知：正确的命题序号是（1）（3）（4）．
故答案为：（1）（3）（4）．

点评 本题考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质等基础知识与基本技能方法，也考查了推理与计算能力，属于难题．