Question

19．函数f（x）=x³+ax²-a²x+3，a∈R
（1）若a＜0，求函数f（x）的单调减区间；
（2）若关于x的不等式2xlnx≤f'（x）+a²+1恒成立，求实数a的范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函的递减区间即可；
（2）问题等价于$a≥lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立，令$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$，根据函数的单调性求出a的范围即可．

解答 解（1）f'（x）=3x²+2ax-a²=（3x-a）（x+a）…（2分）
由f'（x）＜0且a＜0得：$\frac{a}{3}＜x＜-a$…（4分）
∴函数f（x）的单调减区间为$（\frac{a}{3}，-a）$…（5分）
（2）依题意x∈（0，+∞）时，不等式2xlnx≤f'（x）+a²+1恒成立，
等价于$a≥lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$在x∈（0，+∞）上恒成立．…（7分）
令$h（x）=lnx-\frac{3x}{2}-\frac{1}{2x}$
则$h'（x）=\frac{1}{x}-\frac{3}{2}+\frac{1}{{2{x^2}}}=-\frac{（3x+1）（x-1）}{{2{x^2}}}（x＞0）$…（9分）
当x∈（0，1）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增
当x∈（1，+∞）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减
∴当x=1时，h（x）取得最大值h（1）=-2
故a≥-2…（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．