Question

10．已知函数f（x）=（2-a）（x-1）-2lnx
（1）当a=1时，求f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上无零点，求a最小值．

Answer 1

分析 （1）先求导函数f′（x），然后令f′（x）＞0即可求出函数的单调增区间，令f′（x）＜0可求出函数单调减区间，注意与定义域求交集；
（2）因为f（x）＜0在区间（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立不可能，故要使函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上无零点，只要对任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，然后利用参变量分离，利用导数研究不等式另一侧的最值即可求出a的最小值．

解答 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-1-2lnx，
则f′（x）=1-$\frac{2}{x}$，由f′（x）＞0，得x＞2，
由f′（x）＜0，得0＜x＜2，
故f（x）的单调减区间为（0，2]，单调增区间为[2，+∞）．
（Ⅱ）因为f（x）＜0在区间（0，$\frac{1}{2}$）上恒成立不可能，
故要使函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上无零点，只要对任意的x∈（0，$\frac{1}{2}$），f（x）＞0恒成立，
即对x∈（0，$\frac{1}{2}$），a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立．
令l（x）=2-$\frac{2lnx}{x-1}$，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则l′（x）=$\frac{2lnx+\frac{2}{x}-2}{{（x-1）}^{2}}$，
再令m（x）=2lnx+$\frac{2}{x}$-2，x∈（0，$\frac{1}{2}$），
则m′（x）=-$\frac{2}{{x}^{2}}$+$\frac{2}{x}$=$\frac{-2（1-x）}{{x}^{2}}$＜0，
故m（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上为减函数，于是m（x）＞m（$\frac{1}{2}$）=2-2ln2＞0，
从而l（x）＞0，于是l（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上为增函数，
所以l（x）＜l（$\frac{1}{2}$）=2-4ln2，
故要使a＞2-$\frac{2lnx}{x-1}$恒成立，只要a∈[2-4ln2，+∞），
综上，若函数f（x）在（0，$\frac{1}{2}$）上无零点，则a的最小值为2-4ln2．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的极值，同时考查了转化的思想和参变量分离的方法以及运算求解的能力，属于中档题．