Question

20．记$min\{x，y\}=\left\{\begin{array}{l}y{，_{\;}}x≥y\\ x{，_{\;}}x＜y\end{array}\right.$，设a，b为平面内的非零向量，则（　　）

• A． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|，|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\}≤min\{|\overrightarrow a|，|\overrightarrow b|\}$
• B． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b{|^2}，|\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}\}≥{\overrightarrow a^2}+{\overrightarrow b^2}$
• C． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b|，|\overrightarrow a-\overrightarrow b|\}≥min\{|\overrightarrow a|，|\overrightarrow b|\}$
• D． $min\{|\overrightarrow a+\overrightarrow b{|^2}，|\overrightarrow a-\overrightarrow b{|^2}\}≤{\overrightarrow a^2}+{\overrightarrow b^2}$

Answer 1

分析 根据向量加法与减法的几何意义以及模长公式，结合题目中的最小值，对选项中的问题进行分析判断，对错误选项进行排除即可．

解答 解：对于A，当$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$时，根据向量加法与减法的几何意义知，
|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|=|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|＞min{|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|}成立，故原不等式不成立；
对于B，${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow{b}|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，∴${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow{b}|}^{2}$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）=±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
根据平面向量数量积的定义知，±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$≥0不成立，故原不等式不成立；
对于C，当$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$共线时，根据向量加法与减法的几何意义知，
min{|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$|，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|}＜min{|$\overrightarrow{a}$|，|$\overrightarrow{b}$|}成立，故原不等式不成立；
对于D，${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow{b}|}^{2}$=${\overrightarrow{a}}^{2}$±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$，∴${|\overrightarrow{a}±\overrightarrow{b}|}^{2}$-（${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$）=±2$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$，
根据平面向量数量积的定义知，min{${|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|}^{2}$，${|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}^{2}$}≤${\overrightarrow{a}}^{2}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$成立．
故选：D．

点评 本题考查了向量加法与减法的几何意义的应用问题，解题时应用排除法，对错误选项进行举反例说明即可．