Question

A、B、C是△ABC的三个内角，f（A）=4sinA-sin²

A

2

+sin2A+1．
（1）若f（A）=2，求角A；
（2）若f（A）-m-2

3

cosA＜0当A∈[

π

6

，

π

2

]时恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式化简f（A）=2，可得sinA=

1

2

，从而求得 A 的值．
（2）由题意可得当A∈[

π

6

，

π

2

]时，

m-1

4

大于sin（A-

π

3

）的最大值，根据A-

π

3

的范围求得sin（A-

π

3

）的最大值为

1

2

，
故有

m-1

4

＞

1

2

，由此求得实数m的取值范围．

解答：解：（1）若f（A）=2，则4sinA•sin²

A

2

+sin2A+1=2，即4sinA

1-cosA

2

+2sinAcosA=1．
解得sinA=

1

2

，∴A=

π

6

，或 A=

5π

6

．
（2）若f（A）-m-2

3

cosA＜0当A∈[

π

6

，

π

2

]时恒成立，
则当A∈[

π

6

，

π

2

]时，有2sinA+1-m-2

3

cosA＜0，即sin（A-

π

3

）＜

m-1

4

恒成立，
故

m-1

4

大于sin（A-

π

3

）的最大值．
由-

π

6

≤A-

π

3

≤

π

6

，∴sin（A-

π

3

）的最大值为

1

2

，∴

m-1

4

＞

1

2

，∴m＞3．
故实数m的取值范围为（3，+∞）．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换的应用，得到

m-1

4

大于sin（A-

π

3

）的最大值，是解题的关键．