Question

设函数f（x）=a^x+b^x-c^x，其中a，b，c是△ABC的三条边，且c＞a，c＞b，则“△ABC为钝角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”（　　）

A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：根据函数零点存在性定理、余弦定理和指数函数的单调性进行正反推理，对充分性与必要性分别加以讨论，可得在题设条件下，“△ABC为钝角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”的充要条件，从而得到答案．

解答：解：先看充分性，
当△ABC为钝角三角形时，由于c＞a且c＞b，可得c为钝角所对的边，
由余弦定理得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，可得c²＞a²+b²，
∴f（2）=a²+b²-c²＜0
又∵三角形两边之和大于第三边，得f（1）=a+b-c＞0，
∴f（1）•f（2）＜0，可得函数f（x）在区间（1，2）上有零点，故充分性成立；
再看必要性，
∵函数f（x）=a^x+b^x-c^x=c^x[(

a

c

)x+(

b

c

)x-1），0＜

a

c

＜1，0＜

b

c

＜1，
∴函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，
∵f（1）=a+b-c＞0，且存在x∈（1，2），使f（x）=0成立，
∴f（2）=a²+b²-c²＜0，可得a²+b²＜c²，
由余弦定理，得cosC=

a2+b2-c2

2ab

＜0，所以C为钝角，得△ABC为钝角三角形，故必要性成立．
综上所述，“△ABC为钝角三角形”是“?x∈（1，2），使f（x）=0”的充要条件．
故选：A

点评：本题给出指数型函数和△ABC，讨论两个条件之间的充分必要性，着重考查了函数零点存在性定理、指数函数的单调性和用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．