Question

（2009•湖北模拟）已知f（x）=x³+bx²+cx+2．
（1）若f（x）在x=1时有极值-1，求b、c的值；
（2）若函数y=x²+x-5的图象与函数y=

k-2

x

的图象恰有三个不同的交点，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求导函数，利用f（x）在x=1时有极值-1，建立方程，即可求b、c的值；
（2）函数y=x²+x-5的图象与函数y=

k-2

x

的图象恰有三个不同的交点，所以方程：x2+x-5=

k-2

x

恰有三个不同的实解，从而当x≠0时，f （x）的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，确定函数的最值，即可得到结论．

解答：解：（1）求导函数，可得f′（x）=3x²+2bx+c，
由题，f（x）在x=1时有极值-1，知f′（1）=0，f （1）=-1
∴3+2b+c=0，1+b+c+2=-1
∴b=1，c=-5（3分）
∴f（x）=x³+x²-5x+2，f'（x）=3x²+2x-5
此时f（x）在[-

5

3

，1]为减函数，f （x）在（1，+∞）为增函数
∴b=1，c=-5符合题意（5分）
（2）函数y=x²+x-5的图象与函数y=

k-2

x

的图象恰有三个不同的交点，所以方程：x2+x-5=

k-2

x

，即x³+x²-5x+2=k（x≠0），恰有三个不同的实解，
从而当x≠0时，f （x）的图象与直线y=k恰有三个不同的交点，
由（1）知f （x）在[-∞，  -

5

3

]为增函数，f （x）在[-

5

3

， 1]为减函数，f （x）在（1，+∞）为增函数，
又f(-

5

3

)=

229

27

，f （1）=-1，f （2）=2
∴-1＜k＜

229

27

且k≠2（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的极值与最值，考查学生等价转化问题的能力，属于中档题．