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    如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，

    M，N分别是AB，PC的中点.

    （1）求证：MN⊥CD；

    （2）若∠PDA=45°.求证：MN⊥平面PCD.

    证明略


    解析:

     （1）连接AC，AN，BN，

    ∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥AC，

    在Rt△PAC中，N为PC中点，

    ∴AN=PC.

    ∵PA⊥平面ABCD，

    ∴PA⊥BC，又BC⊥AB，PA∩AB=A，

    ∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB，

    从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，

    ∴BN=PC.

    ∴AN=BN，

    ∴△ABN为等腰三角形，

    又M为底边的中点，∴MN⊥AB，

    又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.

    （2）连接PM、CM,∵∠PDA=45°，PA⊥AD，∴AP=AD.

    ∵四边形ABCD为矩形.

    ∴AD=BC，∴PA=BC.

    又∵M为AB的中点，∴AM=BM.

    而∠PAM=∠CBM=90°,∴PM=CM.

    又N为PC的中点，∴MN⊥PC.

    由（1）知，MN⊥CD，PC∩CD=C,

    ∴MN⊥平面PCD.

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    23
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    		2
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