Question

已知函数f（x²-3）=lg．
（1）求f（x）的解析式；
（2）判断f（x）的奇偶性；
（3）若f[φ（x）]=lgx，求φ（3）的值．

Answer 1

解：（1）设x²-3=t，因为所以t＞或t＜-，则x²=t+3，
所以原函数转化为f（t）=lg，由＞0得定义域为{t|t＞3或t＜-3}
即f（x）=lg，定义域为{x|x＞3或x＜-3}
（2）由（1）知定义域{x|x＞3或x＜-3}关于原点对称，
而f（-x）=lg=lg=lg（x-3）-lg（x+3）
f（x）=lg=lg（x+3）-lg（x-3）
所以，f（-x）+f（x）=0
即f（-x）=-f（x）
所以f（x）为奇函数．
（3）由f[φ（x）]=lgx可得：f[φ（x）]=lg=lgx
即：=x
解得：φ（x）=
则：φ（3）=6
分析：（1）整体代换的思路用换元法求解析式，设x²-3=t，然后利用x²=t+3，代入已知函数，求出f（t），即f（x）的表达式
（2）通过（1）的解析式判断奇偶性，判断定义域是否关于原点对称，然后判断f（-x）与f（x）之间的关系，根据函数奇偶性的定义进行证明．
（3）把φ（x）代入f（x）的解析式，求出φ（x）的值，把3代入φ（x）即可解出φ（3）的值．
点评：本题考查复合函数的定义域及单调性的求解，第三问为创新型题目，为中档题